.RU

§4. Метод наименьших квадратов - Конспект лекций по методам конечных элементов


§4. Метод наименьших квадратов.

Пусть и для оператора существует ограниченный обратный оператор . Тогда общая задача принимает вид

(4.1)

И алгоритм (1.3) называется методом наименьших квадратов. Формулировка его заключается в следующем:

1) Выбираются базисные функции

2) Приближенное решение ищется в виде



3)Коэффициенты определяются из системы уравнений

(4.2)

которую можно записать в матричной форме

(4.3)

где



Вычислив элементы симметричной матрицы , компоненты вектора и решив систему (4.3) можно определить приближенное решение .

Часто при формулировке данного алгоритма соотношение (4.2) получают из условия минимизации функционала невязки на линейной оболочке системы .

Функция, реализующая минимум , является приближенным решением задачи (4.1) по методу наименьших квадратов. Действительно, образуем функцию и подберем коэффициенты так, чтобы невязка была минимальна. Заметим, что

(4.4)

Дифференцируя (4.4) по получаем систему уравнений

(4.5)

Т.е. систему (4.2). Решив (4.5), определим коэффициенты , которые будут минимизировать функционал невязки.

Лемма 1. Если однородное уравнение имеет лишь нулевое решение, то приближенные решения могут быть построены методом наименьших квадратов при любом , и они определятся единственным образом

Доказательство. Пусть . имеет только нулевое решение . Тогда, как известно ранее, функции линейно независимы при любом .Необходимым и достаточным условием линейной независимости системы является неравенство нулю определителя Грамма: Следовательно, определитель системы (4.5) отличен от нуля и она имеет единственное решение при любом .

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости.

Теорема 1. Метод наименьших квадратов дает последовательность приближенных решений , сходящихся к точному решению , если последовательность является А-полной и существует константа такая, что для любой функции имеет место соотношение

(4.6)

Доказательство. Множество с нормой пространства образует линейное нормированное пространство, которое отображается оператором А в и которое обозначим через . Из функционального анализа известно, что если линейный оператор А, отображающий линейное нормированное пространство на линейное нормированное пространство удовлетворяет для любого элемента условию (4.6), то существует обратный линейный ограниченный оператор , причем

Следовательно, по лемме 1, приближенные решения могут быть построены при любом . Далее, поскольку А-полна, то при заданном можно найти такие что



Это неравенство является верным, если заменить на , определяемые из (4.5), так как тогда левая часть этого неравенства достигает минимума. В этом случае при имеем и из (4.6) следует, что , т.е. при . Теорема доказана.

Следствие. Если условия теоремы 1 выполнены, то



. (4.7)

Из этого следствия вытекает, что если построены по методу наименьших квадратов, то формула (4.7) позволяет судить о погрешности приближенных решений .

Отметим связь между методом наименьших квадратов и методом Ритца. Предположив, что где сопряженный оператор, и подействовав на (4.1) оператором , получаем уравнение

(4.8)

Если оно разрешимо, то его решение минимизирует функцию





Но функционалы и различаются на постоянные слагаемые, поэтому задачи их минимизации эквивалентны. Итак, при выполнении условий теоремы 1 применение метода наименьших квадратов к уравнению (4.1) равносильно применению метода Ритца в энергетических пространствах к уравнению (4.8).

Преимущества и недостатки метода наименьших квадратов. Пусть, например А – дифференциальный оператор порядка . Решая уравнение (4.1) методом наименьших квадратов, мы фактически решаем методом Ритца уравнение (4.8), оператор которого имеет уже порядок . Еще одна трудность – требование (требование гладкости и удовлетворение краевых условий). Преимущество : кроме обратимости А никаких условий больше не накладываются.

Лекция №№

Пример 1. Пусть задача



(4.9)

Решается методом наименьших квадратов, причем в качестве базисных функций берутся собственные функции оператора , т.е. . Тогда, отыскивая приближенное решение в виде



И решая систему (4.5), находим : имеем систему



и, значит,

.

Следовательно, приближенное решение имеет вид

.

Итак, при выбранных базисных функциях методы Ритца, Бубнова-Галеркина и наименьших квадратов в рассматриваемом примере приводят к одному и тому же результату. Оценим сходимость. Непосредственное вычисление показывает, что

(4.10)

(4.11)

Если для оценки погрешности воспользоваться неравенством (4.7), то Сравнивая этот результат с (4.10) делаем вывод, что оценка, полученная при помощи (4.7), в некоторых случаях может оказаться огрубленной.


§ 5. Обобщенный метод наименьших квадратов.

Рассмотрим задачу (1.1):

(5.1)

и пусть в (1.3) выполнены следующие ограничения: , и - произвольные операторы, причем предполагается существование . Алгоритм приближенного решения задачи в этом случае имеет вид

, (5.2)

(5.3)

и называется обобщенным методом наименьших квадратов.

Сформулируем достаточные условия сходимости к точному решению в этом алгоритме. Введем в новое скалярное произведение



и норму

.

Пополнив по норме получим гильбертово пространство, которое обозначим через . Теперь уравнение (5.1) можно записать в виде

(5.4)

а уравнения для приближенного решения можно представить в эквивалентной форме

(5.5)

Теорема 1. Пусть: 1) уравнение (5.1) однозначно разрешимо; 2) полна в ; 3) оператор вполне непрерывен в . Тогда система приближенных уравнений (5.3) однозначно разрешима при достаточно больших и сходятся к при как в метрике пространства , так и в метрике пространства .

Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 1 § 3 (метод Бубнова-Галеркина) и остается в качестве задачи.


§ 6. Обобщенный метод моментов.


Пусть в гильбертовом пространстве (в этом параграфе – комплексный) рассматривается уравнение (1.1):

. (6.1)

Предположим, что в общей постановке (1.3) выполнены следующие ограничения: , оператор является -положительно определенным (или положительно определенным в обобщенном смысле), т.е.



Где - постоянные, . Алгоритм (1.3) в этом случае называется обобщенным методом моментов, он состоит в следующем:

  1. выбирается базисная система

  2. приближенное решение ищется в виде

. (6.2)

  1. Коэффициенты определяются из системы уравнений

(6.3)

или, что одно и то же, из системы

(6.4)

Прежде всего отметим, что в силу -положительной определенности оператор обладает ограниченным обратным оператором. Действительно, так как и , то . В силу теорем об обратном операторе существует и . Из условий положительной определенности вытекает также, что число вещественно. Покажем, что

(6.5)

Для этого выберем и запишем тождество



(6.6)

и аналогичное ему, поменяв и местами:



(6.7)

Но вещественно, так что сравнивая слагаемые в (6.6) и (6.7) с учетом свойств скалярного произведения, получаем, что правые части в (6.6) и (6.7) совпадают, т.е. имеем (6.5).

На основании свойств (6.5) и -положительной определенности оператора на можно ввести скалярное произведение

(6.8)

в силу чего D (A) превращается в новое гильбертово пространство HK, которое можно считать полным *). Метрику в HK определим соотношением =(u, u).

Подействовав А на обе части (6.1), получим уравнение

u+Tu = f, f= Af, T = AB.

Определение. Элемент uHK назовем обобщенным решением уравнения (6.1), если он удовлетворяет (6.9) в пространстве HK, т. е. удовлетворяет равенству

(6.10)

Очевидно, что если элемент u удовлетворяет (6.1), то он является также и обобщенным решением (обратное, вообще говоря, неверно).

Теперь систему (6.4) можно записать в виде

j = 1, …, N (6.11)

или

j = 1, …, N

Алгоритм (6.12) можно рассматривать как процесс определения приближенного обобщенного решения u.

Теорема 1. пусть уравнение (6.1) имеет единственное обобщенное решение и оператор T = AB вполне непрерывен в HK. Тогда: 1) существует такое целое N, что при любом N N система (6.12) имеет единственное решение а; 2) приближенные решения u сходятся в HK (u в H) к решению уравнения (6.1).

Доказательство. Обозначим через систему , полученную путем ортогонализации в метрике пространства HK при нормировке = 1. Тогда обобщенное решение u может быть представлено в виде






причем ряд сходится в HK и коэффициенты c удовлетворяют системе



т. е. системе



где = (T,), b= (f, K).

Системы (6.14) и (3.9) имеют одинаковый вид, и дальнейшее доказательство теореме повторяет рассуждение в доказательстве теоремы 1 … 3.

Отметим, что так как здесь T = AB предполагается вполне непрерывным в HK, то



Кроме того,



Следовательно в обобщенном методе моментов можно сделать предположение о принадлежности к HK (а не к D(A)). Поэтому, если в этом случае предположить плотность базиса в HK, то утверждения теоремы 1 остается справедливым. Система для определения коэффициентов абудет записываться здесь в виде (6.12) (а не в (6.4)), а сама задача решения (6.1) рассматривается в обобщенной постановке (6.10).


§ 7. проекционный метод в гильбертовом пространстве


В этом параграфе будет изложен проекционный метод решения уравнения

Lu = Au + Bu = f, f H, (7.1)

Причем он будет рассмотрен лишь для случая гильбертовых пространств. Ниже мы покажем также, что все приведенные раннее алгоритмы можно рассматривать как частные случаи проекционного метода.

Пусть L – вообще говоря, неограниченный оператор, действующий в H и обладающий ограниченным обратным оператором L. Предположим, что множество определения D(L) и множество значения R(L) плотны в H.

Введем в Н линейно независимую систему . Соответствующие N-мерные подпространства, порождаемые , обозначим через M. Предположим, что последовательность предельно плотна в ^ Н. Зададим последовательность проекционных операторов P, каждый из которых отображает Н на соответствующее пространство M. Предположим в дальнейшем, что , N = 1,2, … (Здесь P не обязательно являются ортопроекторами, т. е. от них требуется лишь выполнение свойств, . Отметим, что для приводимых ниже рассуждений полезно рассмотреть определение проектора, ортопроектора и пример 3 из § 3.)

Введем также линейно независимую систему . Пространство, порождаемое , обозначим через НN, а линейную оболочку системы - через LHN. Предположим, что последовательность подпространств предельно плотна в Н и для любого элемента



Приближенное решение задачи (7.1) ищем в виде



Где определяется из уравнения



Теорема 1. Пусть для любого N и любого элемента

> 0,

где постоянная не зависит от N. Тогда при любом N уравнение (7.3) имеет единственное решение .

Доказательство. Пусть . Тогда (7.3) записывается в виде



Обозначим через сужение на , т.е. - оператор с областью определения , для которого при . Согласно (7.4) и теореме об обратном операторе обладает ограниченным обратным оператором , переводящим на LHN, при этом Следовательно, существует единственный элемент удовлетворяющий (7.5). Но тогда - единственный элемент, удовлетворяющий (7.3). Теорема доказана.

Теорема 2. если выполнены условия теоремы 1, то при любом N существует приближенное значение причем невязка стремится к нулю при и справедлива оценка

(7.6)

где

Доказательство. Пусть - решение (7.3) (которое согласно теореме1 существует), .выберем произвольный элемент . Так как то



Отсюда, используя оценку получаем



В силу произвольности элемента , а также условия плотности в Н, получаем сходимость невязки к нулю и оценку (7.6).

Следствие. Если то имеют место сходимость к и при и оценка погрешности



т.е.



Замечание. Пусть А, В, К – операторы, относительно которых справедливы предположения …1. Предположим, что есть базис в Н. Ведем систему линейно независимых функций которая К–полна. В этом случае система может быть принята в качестве нового базиса Н. Пусть в (7.3) принято оно из основных ограничений: является оператором ортогонального проектирования. В этом случае уравнение (7.3) эквивалентно системе уравнений (см. пример 3 из … 3)

,

т. е. система вида

,

которая с точностью до обозначений совпадает с системой (1.3). Таким образом , если в (7.3) оператор ортопроектором (а не просто проектором на ), то алгоритм (1.3) совпадает с (7.3), т. е. (1.3) есть частный случай проекционного метода.


4-poryadok-priema-na-obuchenie-perevod-prinimat-ustav-naprimer-sovet-konferenciya-obshee-sobranie-i-dr.html
4-poryadok-provedeniya-otkritogo-zaprosa-predlozhenij-instrukcii-po-podgotovke-predlozhenij.html
4-poryadok-rassmotreniya-ocenki-i-sopostavleniya-zayavok-razvitie-grazhdanskoj-morskoj-tehniki.html
4-poryadok-vedeniya-bankovskogo-scheta-pravila-polzovaniya-bankovskimi-kartami-dlya-derzhatelej-kart-visa-bank24-ru-oao.html
4-posledovatelnost-vipolneniya-proekta-uchebnoe-posobie-izdatelstvo-tpu-tomsk-2005.html
4-postanovleniya-pravitelstva-ob-utverzhdenii-instrukcii-o-poryadke-podgotovki-i-soglasovaniya-proektov-normativnih.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tak-dejstvuyut-i-somalijskie-pirati-novosti-10.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-ustrojstva-generirovaniya-i-formirovanie-signalov-cikl.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zabitoe-iskusstvo-slushat.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/lekciya-4-sistema-nacionalnih-schetov-sns-lekciya-1-3.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/obzor-krasnoyarskih-smi-c-12-po-18-sentyabrya-2011-goda.html
  • credit.bystrickaya.ru/plan-meropriyatij-posvyashennih-godu-istorii-v-rossii-2012-fgbou-vpo-ivanovskij-gosudarstvennij-himiko-tehnologicheskij-universitet.html
  • desk.bystrickaya.ru/patrik-zyuskind-stranica-3.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/ya-rabotayu-sledovatelno-ya-sushestvuyu-hristianskaya-sluzhba-semi-i-zdorovya.html
  • thescience.bystrickaya.ru/internalnost-averin-vyacheslav-afanasevich.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/pismennaya-konsultaciya-podgotovlennaya-studentom-belorusskij-gosudarstvennij-universitet-yuridicheskij-fakultet.html
  • desk.bystrickaya.ru/osnovnie-prichini-vozniknoveniya-oshibok-informatika-i-informacionnie-tehnologii.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tema-13-levonacionalisticheskie-voennie-rezhimi-60-70-h-godov-plan-lekcij-po-kursu-temi-kursa-kol-vo-chasov.html
  • grade.bystrickaya.ru/mirovoe-morskoe-sudohodstvo.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/razdel-v-postuplenie-na-voennuyu-sluzhbu-pokontraktu-federalnij-zakon.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/biznes-plan-ooo-specodezhda.html
  • abstract.bystrickaya.ru/1-gorbunov-a-kreditno-finansovie-offshori-i-shemi-formirovaniya-investicij-v-rossii-konsultant-direktora-2005.html
  • holiday.bystrickaya.ru/o-haraktere-bankovskoj-deyatelnosti-i-roste-blagosostoyaniya-vnutrennij-prediktor-sssr.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tereshkin-n-i-l-i-yarkova-otvetstvennij-za-vipusk.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/na-bklm-proshyol-oblastnoj-konkurs-tkachih-17-konkurs-professionalnogo-masterstva-18-v-nerehte-poyavitsya-priyut-dlya-molodih-mam-19.html
  • uchit.bystrickaya.ru/subekt-uchebnoj-deyatelnosti-harakteristika-kachestva-obrazovaniya-psihologiya-xxi-stoletiya-t-1-pod-redakciej.html
  • esse.bystrickaya.ru/razdel-iii-psihicheskie-sostoyaniya-m-i-enikeev-obshaya-i-socialnaya-psihologiya.html
  • literature.bystrickaya.ru/dva-pocherka-sobranie-sochinenij-m-centrpoligraf-2001.html
  • tests.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-vipolneniyu-samostoyatelnoj-raboti-po-discipline-opd-07-teoriya-buhgalterskogo-uchyota-dlya-studentov-dnevnoj-formi-obucheniya-napravleniya-080100-ekonomika-stranica-3.html
  • assessments.bystrickaya.ru/dokladi-prezentacii-kruglie-stoli-master-klassi.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/zadachi-didakticheskie-zakrepit-znaniya-o-reshayushih-bitvah-otechestvennoj-vojni-poznakomit-s-istoriej-kazanskoj-ikoni-bozhiej-materi.html
  • studies.bystrickaya.ru/3-geneticheskaya-assimilyaciya-plotin-platonik-dokazivaet-pri-pomoshi-cvetov-i-listev-chto-ot-vsevishnego-gospoda.html
  • pisat.bystrickaya.ru/trebovaniya-k-oformleniyu-teksta-doklada.html
  • school.bystrickaya.ru/annotaciya-k-rabochej-programme-disciplini-programmam-disciplin-modulej-annotaciya-k-rabochej-programme-disciplini.html
  • abstract.bystrickaya.ru/105-poryadok-provedeniya-i-oblast-primeneniya-ae-kontrolya-e-a-bogdanov-osnovi-tehnicheskoj-diagnostiki-neftegazovogo.html
  • klass.bystrickaya.ru/assignment-3-metodicheskoe-posobie-dlya-prepodavatelej-i-studentov-po-fakultativnoj-discipline-df-05-domashnee-chtenie-kansk.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/programma-uchebnoj-disciplini-istoriya-2013-2014-gg.html
  • credit.bystrickaya.ru/plani-seminarskih-i-prakticheskih-zanyatij.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/nis-azii-i-latinskoj-ameriki-na-mirovom-rinke-uslug-chast-2.html
  • bystrickaya.ru/ustojchivoe-razvitie-rossii-perspektivi-i-ugrozi.html
  • control.bystrickaya.ru/elena-kolyadina-cvetochnij-krest-pervaya-glava-romana-vafedron-ne-davala-li-stranica-16.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.