.RU

7.1. Положения теории вероятностей - Анализ риска аварий техногенных систем (Конспект лекций)


^ 7.1. Положения теории вероятностей, используемые при оценке рисков: понятие случайного события и вероятности
Опасность – это такая ситуация, при которой возникают опасные факторы, которые оказывают негативное воздействие на природные объекты и/или население. Появлению опасных ситуаций способствуют какие-то процессы и явления, связанные с деятельностью человека, или природные явления. Опасные факторы являются следствием деятельности человека или природных явлений и могут накапливаться постепенно (как, например, загрязнение химическими веществами) или проявляться внезапно, например, при взрыве. В любом случае и опасности, и опасные ситуации и опасные факторы возникают и действуют в пространстве и во времени и их возникновение связано с множеством разных случайных событий и процессов. Опасность, связанная с конкретным событием или процессом, представляет собой вероятность проявления данного события или процесса в данном месте и в данное время. Поэтому основным математически аппаратом, используемым при анализе опасностей и риска, является теория вероятностей (Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., 1986).

Основными понятиями в теории вероятностей являются случайное событие и вероятность.

Случайное событие – это такое событие, которое может произойти или не произойти при осуществлении определённой совокупности условий. Каждое осуществление совокупности условий, которые могут вызвать совершение случайного события, называют испытанием (опытом).

Несколько событий образуют полную группу, если в результате каждого испытания обязательно должно произойти одно из них.

События называют совместимыми (совместными), если они могут произойти одновременно.

Несколько событий называются попарно несовместимыми, если никакие два из них не могут произойти одновременно.

Противоположными называются два несовместимых события, образующих полную группу. Событие, противоположное событию ^ А, обозначается (т.е. «не А»). Например, при метании монеты возможны два события – выпадение или орла или орешки. Эти два результата в данном примере составляют полную группу событий, так как являются несовместимыми и противоположными.

Несколько событий называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другое. При метании монеты выпадение орла или орешки выступают равновозможными событиями.

Если полная группа состоит из ^ N равновозможных попарно несовместимых случайных событий, то каждому из событий приписывают вероятность, равную 1/N.

Классическое определение вероятности формулируется в следующем виде:

Если результаты испытания можно представить в виде полной группы N равновозможных попарно несовместимых событий, и если некоторое событие А появляется в M случаях, то вероятность события А равна

P(A)=M/N. (2.12.1)

Вероятность достоверного события A (т.е. события, которое в результате любого испытания должно произойти обязательно) равна 1: P(A)=1. Можно сказать, что вероятность достоверного события A принимается за единицу измерения вероятности. Если P(A)=0 , то событие наверняка не произойдет.

В разделе 2.11 было показано, что все возможные события могут быть представлены в виде карт. Карта на языке теории вероятностей представляет собой выборочное пространство. Полное выборочное пространство или генеральная совокупность есть множество всех возможных подмножеств или комбинаций рассматриваемых событий. Следовательно, если все события выборочного пространства объединены в одно событие, обозначенное S, с помощью операции ИЛИ, то его появление становится достоверным, т.е.

P(S) = 1. (2.12.2)

Это соотношение часто называют второй аксиомой теории вероятностей.

Таким образом, из классического определения, следует, что вероятность любого случайного события всегда заключена между 0 и 1:

О ≤Р(А) ≤ 1. (2.12.3)

При проведении статистических испытаний в науке (физике, биологии, медицине и т.д.) или технике, число испытаний A, как правило, ограничено. Поэтому в таких случаях определяют частость событий f(A) по формуле

f(A)=m/n, (2.12.4)

где m – число появления события А, n – общее число проведённых испытаний.

Пусть A – булевское событие, т.е. событие, могущее иметь два исхода. Определение частости f(A) может бать получено применение частости в форме

, (2.12.5)

где N(A) и M(S) числа появления событий A и S соотстветственно, S – полное выборочное пространство.

При увеличении количества испытаний n до бесконечности частость появления события A стремится к вероятности Р(А) этого события, т.е.

f(A)  Р(А), при n.

При малом числе испытаний частость носит случайный характер и может сильно меняться от одной серии испытаний к другой. Если же в результате многочисленных испытаний установлено, что частость события колеблется около некоторой постоянной величины, то можно утверждать, что рассматриваемое событие имеет вероятность равную этой величине.

Применительно к задачам алгебры логики каждой логической переменной ставится в соответствие некоторая частость (относительная частота), с которой ожидается появление связанного с ней события. Если каждой логической переменной приписывать только два возможных значения 0 или 1 , то теперь частость каждого из них может иметь конкретную величину, лежащую в диапазоне между 0 и 1. По определению, данному выше, вероятность описывается частостью.

Существует два метода предсказания вероятностей: 1 – априорный, по характеру самой системы; 2 – эмпирический, по наблюдениям за прошлыми исходами. Оба метода предусматривают измерение частости, с которой ожидается появление события. В обоих случаях предполагается случайность и неизменность условий, при которых измеряется частость.

Анализируя разные опасные события и связанные с ними риски, на практике приходится складывать и умножать вероятности случайных событий. При этом, правила сложения и умножения зависят от того являются ли события совместимыми или несовместимыми, зависимыми или независимыми.
^ 7.2. Теоремы сложения вероятностей
Суммой нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совершении хотя бы одного из этих событий. Если, например, событие А – выпадение орла, а событие В – выпадение орешки, то событие (А+В) состоит в том, что фиксируется любой результат. Для обозначения суммы случайных событий чаще всего используют обозначение (А+В), а также (А или В) и (АВ).

Произведением нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Помимо обозначения (АВ) или просто (АВ), используют обозначения (А и В) и (АВ).

Сумму и произведение случайных событий можно интерпретировать графически как показано на рис. 2.35.

Для несовместимых событий А и В в соответсвии с уравнением (2.12.1) можно написать: , где M1 - число случаев, благоприятствующих событию A, M2 - число случаев, благоприятствующих событию В, N – общее число случаев.

Тогда сумма случайных несовместимых событий может быть определена как:

Р(А)+Р(В) = = = Р(А+В)

или Р(А+В) = Р(А)+Р(В). (2.12.6)

Формула (2.12.6) легко обобщается для любого числа несовместимых событий:

Р(А+В+C+...) = Р(А)+Р(В)+P(C)+... (2.12.7)

Из правила сложения несовместимых событий (2.12.6) вытекает третья аксиома теории вероятностей «взаимного исключения» или несовместимости. Любые два события являются несовместимыми тогда и только тогда, когда представления их на карте оказываются неперекрывающимися выборочными пространствами. Это значит, что два события не должны иметь общих подмножеств. Если два события A1 и A2 несовместимы, то

P(A1+A2) = P(A1) + P(A2).
Это правило будет очень часто использоваться при расчете надёжности систем.

В разделе 2.11 введено понятие двоичного или биномиального события, называемого также булевским событием. Очевидно, что если рассматривается выборочное пространство события A, то

(2.12.8)

Это соответствует правилам табл. 2.13. События A и не могут перекрываться. Поэтому, применяя 2.12.7, запишем



а из 2.12.8 следует, что



что равно единице согласно 2.12.2. Следовательно

и . (2.12.9)

Таким образом, если вероятность некоторой булевской переменной известна, то вероятность её дополнения легко определяется вычитанием из 1.


Сумма случайных совместимых событий А и В определяется формулой

Р(А+В) = Р(А) + Р(B) - Р(АВ). (2.12.10)


А В А В

АА







(А+В) (АВ)

Рис. 2.36. Графическая интерпретация суммы (А+В) и произведения (АВ)

случайных событий

Действительно, обозначим через М' число случаев, в которых события А и В появляются совместно, т. е. Когда имеем их произведение (АВ). Тогда , , Р(АВ)= М'/N . Событию (А+В) благоприятны M1 случаев, в которых появляется событие А и в которые уже вошли М' случаев, благоприятных совмещению событий (АВ), а также (М2 - М') случаев, в которых появляется событие В. Таким образом, событию (А+В) благоприятны М1+(М2 - М') случаев.

Следовательно, вероятность

Р(А+В) = (М1+М2 - М') /N = Р(А) + Р(В) - Р(АВ), (2.12.10)

что и надо было доказать.

Выражение (2.12.10) легко доказывается с помощью карт. Рассмотрим простое логическое уравнение T=A+B. Карта для этого выражения представлена на рис 2.28. Если события А и В не совместимы, то в соответствии с выражением (2.12.6) Р(А+В) = Р(А)+Р(В). Но если события перекрываются, как на рис.2.36 , то такое сложение приведёт к двойному учету вероятности Р(АВ). Общее выражение может быть получено для Р(А+В) из (2.12.6) поправкой на величину «лишней» вероятности Р(АВ). Для получения общего выражения эту вероятность надо вычесть из суммы вероятностей Р(А)+Р(В), т.е. мы получим уравнение Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ). Таким образом, мы подтвердили справедливость уравнения (2.12.10) с помощью карт.

Формула (2.12.6) может быть обобщена на любое число несовместимых событий. Рассмотрим вероятность события Р(А1+ А2) Представим событие А2 в виде двух несовместимых событий В1 и В2. Тогда в соответствии с (2.12.6) получим

Р(А1+ А2) = Р(А1+ В1 + В2) = Р(А1)+ Р(В1 + В2).

Но так как В1 и В2 также несовместимы, то

Р(А1+ В1+ В2) = Р(А1) + Р(В1) + Р(В2).

На основании последнего выражения можно обобщить формулу для любого числа n несовместимых событий

Р(А1+ А 2 +…+ А n) = (2.12.11)

Если А и В являются несовместимыми событиями, как, например, одновременное выпадение орла и орешки, то произведение их вероятностей Р(АВ)=0. В этом случае уравнение (2.12.10) преобразуется в уравнение (2.12.6).

Из теоремы сложения вытекают два следствия.

Следствие 1: Если несовместимые события образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице:

Р(А+В+C+...) = Р(А)+Р(В)+P(C)+... = 1. (2.12.12)

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А)+Р() = 1. (2.12.13)

Используя правила, представленные в табл.2.14 функцию T=A+B можно представить несколькими эквивалентными выражениями:

T=A+B; (2.12.14)

; (2.12.15)

; (2.12.16)

. (2.12.17)

Выражения (2.12.15 – 2.12.17) не проще выражения 2.12.14, но они выражены в формах несовместимых событий. Появляется простая возможность вычислить вероятность функции суммированием вероятностей слагаемых. Таким образом, мы получаем возможность использовать три эквивалентные формы для вычисления вероятностей:



(2.12.18)

Возможность использования эквивалентных выражений предоставляет большие удобства при анализе деревьев отказов.

До сих пор мы не принимали во внимание зависимость одного события от другого. При рассмотрении вопросов безопасности и оценки риска приходится рассматривать причины возникновения опасных ситуаций и их последствия. В одних случаях причиной возникновения опасной ситуации могут послужить какие-то совершенно независимые события, в других же – одни события могут возникнуть в зависимости от наличия других событий.
^ 7.3. Теорема умножения вероятностей
При рассмотрении вопроса об умножении вероятностей необходимо принимать во внимание являются ли рассматриваемые события независимыми или зависимыми.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события не меняется от того, произошло ли событие ^ В, или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.


Для анализа таких событий используется понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события ^ А называется вероятность, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, и обозначается Р(А/В).

По определению события А и В независимы, если появление события А не влияет на В и появление события В не влияет на появление события А. Математически это выражается следующим образом

Р(А/В) = Р(А), (2.12.19)

Р(В/А) = Р(В). (2.12.20)

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

P(АВ) = P(B/A) P(A). (2.12.21)

и P(АВ) = P(A/В) P(B). (2.12.22)

Доказательство теоремы производится на основе классического определения вероятности. Пусть N – полное число всех возможных испытаний (случаев), из которых К исходов благоприятствуют событию А, а L исходов – событию В. События А и В могут быть совместимыми, поэтому возможны случаи, благоприятные им одновременно. Пусть М – число таких случаев, т.е. тех, в которых появляется событие (АВ). Тогда P(A)=K/N и P(АВ)=M/N. Вычислим условную вероятность Р(В/А). Раз известно, что событие А произошло, то из всех ранее возможных случаев остаются только те К, которые благоприятствовали этому событию. Из них М случаев благоприятны и событию В, следовательно, Р(В/А)=М/К. Если подставить полученные выражения для Р(А), Р(АВ)и Р(В/А) в формулу (2.12.21), то получим тождество: M/N=(K/N) (M/K), что и требовалось доказать.

Можно доказать, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Это является следствием теоремы умножения вероятностей и означает, что если Р(А/В)=Р(А), то Р(В/А)=Р(В). Иными словами, зависимость или независимость событий всегда взаимны. Легко показать, что для независимых событий теорема умножения упрощается: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А) Р(В). (2.12.23)

Отсюда следует, что формула (2.12.10) теоремы сложения вероятностей для независимых событий А и В может иметь вид:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) Р(В). (2.12.24)


Теорема умножения вероятностей может быть обобщена для любого числа событий.

Расчёт вероятности Р(АВ упрощается, если А и В независимы. Комбинируя выражения (2.12.19) и (2.12.22) можно получить соотношение

Р(АВ) = Р(А) (В), (2.12.25)

которое справедливо только при независимости А и В.

Можно показать, что, если A1 и A2 и …..An являются независимыми событиями, т.е. попарно независимы в смысле формул (2.12.19) и (2.12.20), то


Р(А1 А2…Аn)= P(Ai) (2.12.26)

С другой стороны, если события нельзя считать независимыми, то справедливо более сложное выражение:

Р(А1 А2…Аn)= P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1 A2)…P(An/A1 A2…An-1) (2.12.27)

Условные вероятности в формуле (2.12.27) определить либо трудно, либо вообще невозможно. Поэтому необходимо доводить преобразования до такой степени, чтобы можно было использовать формулу (2.12.26).
^ 7.4. Формула полной вероятности
Из теорем сложения и умножения следует формула полной вероятности, имеющая большое значение при решении практических задач оценки риска. Пусть А – событие, которое может произойти с одним из событий
Hi = H1, H2, ... , Hn. Предполагается, что они образуют полную группу попарно несовместимых событий. Формула полной вероятности имеет следующий вид:

. (2.12.28)

Лекция 8-9. Надёжность и риск аварий техногенных систем

Теория надёжности появилась и получила своё развитие в годы второй мировой войны (1941-1945) прошлого столетия. В это время появились сложные радиотехнические системы, позволявшие обнаруживать самолеты противника, определять их координаты, скорость движения и управлять артиллерийской стрельбой.

Такие системы содержали огромное количество элементов: электронных ламп, сопротивлений, конденсаторов, проводов, точек пайки, механических узлов и т.д. Любой из этих элементов мог отказать в произвольный момент времени и привести к отказу всей системы. Была поставлена задача обеспечения высокой надёжности сложных радиотехнических систем. К настоящему времени теория надёжности превратилась в самостоятельную науку, которая позволяет проанализировать, оценить и выработать рекомендации по повышению надёжности любой технической системы или любого технологического процесса: телевизора, самолета, комплекса для запуска ракет и т.д.

Надёжность системы – есть вероятность успешного результата при работе этой системы (Браун Дэвид Б., 1979).

Успешность работы любой системы зависит от успешности работы её компонентов. Поэтому надёжность системы может быть выражена и определена количественно через надёжность её элементов. Это чрезвычайно важно, поскольку надёжность компонентов определить гораздо проще и дешевле, чем надёжность системы.

Предположим, что имеются некоторые компоненты. В телевизоре это транзисторы, резисторы, конденсаторы, индуктивности, микросхемы и т.д. В автомобиле это шины, тормозные колодки, смазка, электрический генератор, стартёр, свечи и т.д. Исправность каждого компонента зависит от совокупности его характеристик, указанных в технических требованиях, для определённого интервала времени – срока службы. Ясно, что их исправность зависит и от качества проекта, и от качества изготовления и соблюдения технологий в процессе производства деталей, и от соблюдения условий эксплуатации и от соблюдения правил эксплуатации.

Для расчёта надёжности R(A) применима, например, формула (1.2), где событие A характеризуется числом успешных исходов, а событие S(A) – есть полное число испытаний (полное выборочное пространство в терминах теории вероятностей)

. (2.12.32)

Ясно, что для достаточно точного определения надёжности R(A) элемента надо провести большое число испытаний. Это можно делать двумя способами:

1 – проводить большое число испытаний одного элемента длительное время;

2 – провести испытания одновременно большого количества одинаковых элементов в течение сравнительно короткого периода времени.

Часто испытания носят разрушающий характер, поэтому испытания элементов стоят дешевле, чем испытаний целой системы. Поскольку сборка системы стоит дорого, испытание большого количества систем экономически не выгодно. Далее мы познакомимся с одним из методов оценки надёжности систем в процессе их эксплуатации.

В настоящем разделе мы знакомимся с методом оценки надёжности системы по надёжности её компонентов. Итак, мы полагаем, что надёжность компонентов определена экспериментально и выражена количественно. Для определения надёжности системы необходимо найти соотношения, связывающие функцию надёжности системы с надёжностью ее компонентов.

Любая система состоит из последовательно (рис. 2.37) и параллельно
(рис. 2.38) соединенных компонентов и большого числа их комбинаций.






A1




A2









An




























Рис. 2.37. Представление последовательной системы

Очевидно, что система, состоящая из последовательно соединённых элементов, будет исправна, если исправны все компоненты. При выходе из строя (отказе) любого из последовательно соединённых элементов система перестанет функционировать.

Поэтому исправность ^ T системы в терминах алгебры логики, выражается логической операцией И, связывающей исправность компонентов Ai :

T= A1 A2 A3… An. (2.12.33)

Если отказы компонентов независимы (т.е. отказ одних элементов не приводит к отказу других), то вероятность безотказной работы такой системы может быть определена с помощью формулы:

R(T)= R(Ai) (2.12.34)

Если существует зависимость отказа одних элементов от других, то для определения надёжности системы надо использовать формулу (2.12.27).







A1
















A2













A3










.

.

An













Рис. 2.38. Представление параллельной системы

Для исправного функционирования чисто параллельной системы (рис. 2.38) достаточно, чтобы функционировал хотя бы один из параллельно соединённых компонентов. В данном случае успешная работа системы выражается через успешную работу её компонентов с помощью логической операции ИЛИ. Полагая события A1 несовместными (несовместимыми), можем применить формулу:

T= A1+A2+A3+…+An. (2.12.35)

Это выражение показывает, что для повышения надёжности параллельной системы, необходимо добавлять параллельные компоненты.

Можно представить уравнение (2.12.35) в другой форме. К этой форме мы придем путём простых логических рассуждений. Для того, чтобы отказала параллельная система, необходимо, чтобы оказались неисправными все параллельно соединённые компоненты. Обозначив отказ системы через и отказ i-го компонента через , получим

. (2.12.36)

С учётом независимости отказов в формуле (2.12.36) может быть записано соотношение для вероятности отказа системы:

P()= (2.12.37)

Вероятность отказа системы есть не что иное, как вероятность аварии и ещё её можно назвать ненадёжностью системы.

Если известна вероятность величины отказа P(), то вероятность события R(T), представляющая собой надёжность системы, определится вычитанием величины отказа (или ненадёжности) из единицы

R(T)=1-P(). (2.12.38)

или

P()=1-R(T). (2.12.39)

При объединении событий операцией ИЛИ любое из этих событий вызывает появление выходного события. Тогда вероятность выходного события при независимых входных событиях можно выразить как, а уравнение (2.12.39) легко представит в виде

P()=1-R(T)= [1-R(A1)][1- R(A2)]…[1- R(Ai)]

или

R(T) =1- P()= (2.12.40)

Можно также записать

или (2.12.41)

. (2.12.42)

Из уравнения (2.12.39) можно получить также уравнение для вероятности величины отказа P(), которое можно использовать, если известна величина надёжности системы

P()=1-R(T). (2.12.43)

Используя выражение (2.12.38) и заменив в нём P() по формуле
(2.12.43), с учётом уравнения (2.12.34), получим

R(T)=1-P()=1-[1-R(T)]=1-[1- R(Ai)]. (2.12.44)

Итак, мы видим, что существуют два пути вычисления надёжности системы:

1 – Непосредственный расчет надёжности (по формуле 2.12.34);

2 – Расчёт ненадёжности системы и вычитание её из единицы (по формулам 2.12. 43 и 2.12.44).

Кое-кто может задать вопрос: – Какое отношение все эти положения теории вероятностей и булевой алгебры имеют к курсу «Техногенные системы и экологический риск»?

В 1-ой главе было сказано, что для определения экологического риска надо знать риск аварии изучаемой системы. Без знания величины риска аварии и её последствий оценить риск для здоровья людей или экологических систем просто нельзя.

Итак, для определения риска аварии системы необходимо вычислить её надёжность или ненадёжность. К надёжности систем иногда предъявляют чрезвычайно высокие требования. Так, для успешного запуска и возвращения на землю спускаемых космических аппаратов, например российского «Прогресса» или американского «Шаттла», весь комплекс от запуска до приземления должен обеспечить надёжность равную 0,99. Вероятность аварии

Pа() = 1-0,99 = 0,01. (2.12.45)

Это означает, что на 100 запусков допускается не более 1-й аварии.

Для обеспечения такой надёжности всего комплекса, надёжность его отдельных подсистем должна составлять 0,999 и даже 0,9999, а надежность отдельных элементов и конструктивных узлов не менее 0,99999. Специалисты говорят просто «Надёжность прибора (узла) четыре девятки» или «Надёжность

Лекция 11-12. Человеческий фактор в надёжности техногенных систем

5v073000-rlis-materialdarin-bjimdarin-zhne-rastirilimdarin-ndrru.html
5v090100-organizaciya-perevozok-dvizheniya-i-ekspluataciya-transporta-vostochno-kazahstanskij-gosudarstvennij-tehnicheskij.html
5v120100-veterinariyali-medicina-mamandiina-arnalan-maldrgerlk-latin-terminologiyasi.html
5vibor-i-obosnovanie-strukturnoj-shemi-peredatchika-obzor-sushestvuyushih-metodov-peredachi-na-volokonno-opticheskih.html
5vskritie-konvertov-s-zayavkami-na-uchastie-v-aukcione-i-rassmotrenie-aukcionnih-zayavok.html
5zhilishnoe-zakonodatelstvo-zakonodatelstvo-ob-organizacii-gosudarstvennoj-vlasti-i-mestnogo-samoupravleniya.html
  • esse.bystrickaya.ru/rasskazi-scenki-nabroski-stranica-2.html
  • pisat.bystrickaya.ru/tematicheskoe-planirovanie-vneurochnoj-deyatelnosti-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshego-obrazovaniya.html
  • gramota.bystrickaya.ru/vstrecha-na-elbe-o-chem-eta-kniga-2-dlya-kogo-eta-kniga-3.html
  • occupation.bystrickaya.ru/metodologiya-ekonomiko-statisticheskoj-ocenki-i-modelirovaniya-kachestva-visshego-obrazovaniya-s-uchyotom-kriteriya-zanyatosti.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/preduprezhdenie-prestupnosti.html
  • writing.bystrickaya.ru/krasilnikyanc-natalya-nikolaevna-stranica-4.html
  • books.bystrickaya.ru/centralnaya-rajonnaya-biblioteka-im-b-e-kravchenko-stranica-4.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/9-klass-primernie-programminachalnogo-obshego-obrazovaniya-tehnologiya-trud-poyasnitelnaya-zapiska-status-dokumenta.html
  • crib.bystrickaya.ru/informaciya-departamenta-mezhdunarodnogo-sotrudnichestva-o-hode-vipolneniya-mezhdunarodnih-konvencij-i-soglashenij-v-sfere-ohrani-okruzhayushej-sredi-otnosyashihsya-k-kompetencii-minprirodi-rossii.html
  • exam.bystrickaya.ru/zakonnost-i-pravoporyadok-ponyatie-i-sootnoshenie-chast-2.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-xxix-torgovij-dom-dombi-i-sin-torgovlya-optom-v-roznicu-i-na-eksport.html
  • lecture.bystrickaya.ru/52komplekt-dokumentacii-dlya-provedeniya-pilotnih-proektov-po-perevodu-vibrannih-administrativno-upravlencheskih-processov-na-autsorsing.html
  • znanie.bystrickaya.ru/9-ispitaniya-turbogeneratorov-na-nagrevanie-v-asinhronnih-rezhimah-bez-vozbuzhdeniya.html
  • knigi.bystrickaya.ru/rekomendacii-po-sovershenstvovaniyu-ucheta-sobstvennogo-31-kapitala-i-uvelicheniyu-ego-dohodnosti.html
  • grade.bystrickaya.ru/oborudovanie-dlya-sistem-otopleniya-ohlazhdeniya-i-vodosnabzheniya-zdanij-tehnologii-komforta-i-energosberezheniya.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-3-zagadki-kruglogo-stola-i-graalya-varakin-a-s-rozenkrejceri-ricari-rozi-i-kresta.html
  • predmet.bystrickaya.ru/rekomendacii-dlya-mezhdunarodnih-nablyudatelej-ot-sodruzhestva-nezavisimih-gosudarstv-po-nablyudeniyu-za-viborami-i-referendumami-stranica-9.html
  • exam.bystrickaya.ru/zvt-pro-navchalnu-praktiku-na-posad-komandira-vddlennya.html
  • tasks.bystrickaya.ru/1480--dppf12-gosudarstvennij-obrazovatelnij-standart-visshego-professionalnogo-obrazovaniya-specialnost.html
  • essay.bystrickaya.ru/endoskopicheskie-metodi-profilaktiki-aya-chast-ministerstva-vnutrennih-del-respubliki-tatarstan-vestnik-sovremennoj.html
  • kanikulyi.bystrickaya.ru/ya-i-moya-rodina.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/iv-vibor-celej-i-razrabotka-scenariev-budushego-investicionnij-plan-modernizacii-monogoroda-ust-ilimsk-irkutskoj.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-2-bolshoj-belij-chelovek-aleksandr-shakilov-vojna-krotov.html
  • composition.bystrickaya.ru/opisanie-mesta-uchebnogo-predmeta-v-uchebnom-plane-rabochaya-programma-po-okruzhayushemu-miru-umk-shkola-2100.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rasskazivajte-im-o-svoem-opite-dzhon-maksvell-dzhim-dornan-kak-stat-vliyatelnim-chelovekom.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/odvodit-itogi-i-opredelyat-zadachi-na-perspektivu.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/raspisanie-viezdov-pozharnih-podrazdelenij-str.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/universiteti-i-nauchnie-uchrezhdeniya-stranica-33.html
  • holiday.bystrickaya.ru/metodika-prepodavaniya-estestvoznaniya-rabochaya-programma-programma-lekcionnogo-kursa-plani-prakticheskih-zanyatij.html
  • reading.bystrickaya.ru/literatura-66-str.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/udk159923-obrazovanie-i-nauka-izvestiya-uralskogo-otdeleniya-rossijskoj-akademii-obrazovaniya.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-x-plata-za-zemlyu-i-ocenka-zemli-institut-zakonodatelstva.html
  • thescience.bystrickaya.ru/hrestomatiya-po-istorii-russkogo-prava-sostavil-m-vladimirskij-budanov-vipusk-tretij-izdanie-trete-1888-g-allpravo-ru-2005-stranica-5.html
  • uchit.bystrickaya.ru/substanciya-misli-slabaya-metrika-kakim-obrazom-process-mishleniya-svoimi-konstrukciyami-pitaetsya-smodelirovat-ustrojstvo-bitiya-bolee-fundamentalnoe-chem-sam.html
  • control.bystrickaya.ru/critic-oboroten-teni-chernobilya.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.