.RU

б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям


^ б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям

Омега. Вы критиковали анализы доказательства за крушение обратной передачи ложности при помощи контрапримеров третьего типа. Теперь я критикую их за крушение передачи ложности (или, что то же самое, обратной передачи истины) при помощи контра­примеров второго типа. Доказательство должно объяс­нить явление эйлеровостн в полном его объеме.

Мои поиски имеют целью не только верность, но также и окончательность. Теорема должна быть верной — не должно быть никаких контрапримеров внутри ее обла­сти; но она также должна быть окончательной; не должно быть никаких контрапримеров вне ее области. Я хочу провести граничную линию между примерами и контрапримерами, а совсем не между, с одной стороны, бе­зопасной областью с небольшим числом примеров, а, с дру­гой стороны, с мешком, содержащим смесь примеров и контрапримеров.

Ламбда. Итак, вы хотите, чтобы условия теоремы были не только достаточными, но также и необходимыми!

Каппа. Вообразим в целях доказательства, что вы нашли такую магистральную теорему. «^ Все магист­ральные многогранники будут эйлеровыми». Понимаете ли вы, что эта теорема будет «окончатель­ной» только в том случае, если будет верной обратная тео­рема: «Все эйлеровы многогранники будут магистральными многогранниками»?

Омега. Конечно.

Каппа. Значит ли это, что если в порочной бесконеч­ности потеряется верность, то будет потеряна также и окончательность? Вы должны находить по крайней мере по одному эйлерову многограннику вне области каждого из ваших все более глубоких доказательств.

Омега. Конечно, я знаю, что не могу решить пробле­му окончательности, не решив проблемы верности. Я уве­рен, что мы решим обе. Мы остановим бесконечный поток контрапримеров как первого, так и третьего типа.

Учитель. Ваши поиски увеличивающегося содержа­ния очень важны. Но почему не признать ваш второй кри­терий удовлетворительности — окончательность — лишь желательным, но не обязательным? Почему отвергать интересные доказательства, не содержащие сразу достаточных и необходимых условий? Почему рассматри­вать их как опровергнутые?

Омега. Ну...110

Ламбда. Во всяком случае Омега вполне убедил ме­ня, что единственное доказательство может быть недоста­точным для критического улучшения наивной догадки. Наш метод должен заключать радикальную формулировку Правила 4, и тогда он должен быть назван методом «доказательств и опровержений» вместо «доказательства и опровержений».

Мю. Извините мое вмешательство. Результаты вашей дискуссии я как раз перевел в квазитопологические тер­мины. Метод включения лемм дал сужающуюся последо­вательность найденных областей постепенно ис­правляемых теорем: в процессе появления скры­тых лемм эти области сокращались под непрерывной ата­кой глобальных контрапримеров и стремились к некото­рому пределу; назовем этот предел «областью ана­лиза доказательств». Если мы применяем более слабую формулировку Правила 4, то эта область может быть расширена под продолжающимся давлением локаль­ных контрапримеров. Эта расширяющаяся последователь­ность будет тоже иметь предел; я назову его «областью доказательства». Дискуссия показала, что даже и эта область может быть очень узкой (возможно, даже пустой). Нам придется придумывать более глубокие доказательства, области которых составят расширяющуюся последовательность, включаю­щую все более и более упорствующие эйлеровы многогран­ники, бывшие локальными контрапримерами для предшест­вующих доказательств. Эти области, являющиеся и сами предельными областями, будут сходиться к двойному пре­делу— «области наивной догадки», — которая является целью исследования.

Топология этого эвристического пространства является проблемой математической философии: если последова­тельности бесконечны, то будут ли они вообще сходиться, стремиться к пределу, может ли предел быть пустым мно­жеством?

Эпсилон. Я нашел более глубокое доказательство, чем у Коши, которое объясняет также эйлеровость «боль­шого звездчатого додекаэдра»! (Передает записку Учи­телю.)

Омега. Окончательное доказательство! Теперь будет раскрыта истинная сущность эйлеровсти!

Учитель. Я очень жалею, но время истекает: мы обсудим крайне утонченное доказательство Эпсилона как-нибудь в другое время111. Все, что я вижу, сво­дится к тому, что оно не будет окончательным в смысле Омеги. Не правда ли, Бета?


^ в) Различные доказательства дают различные теоремы

Бета. Наиболее интересная вещь, которую я уяснил из этой дискуссии, заключается в том, что различные доказа­тельства той же самой наивной догадки приводят к раз­личным теоремам. Единственная догадка Декарта — Эйлера исправляется каждым доказа­тельством в отдельную теорему. Наше первона­чальное доказательство дало: «Все многогранники Коши суть эйлеровы». Теперь мы узнали кое-что о двух совер­шенно различных теоремах: «Все многогранники Жергонна суть эйлеровы» и «Все многогран­ники Лежандра суть эйлеровы». Три доказательства и три теоремы с одним общим предком112. Обычное выражение «различные доказательства теоремы Эйлера» будет тогда не совсем правильным, так как оно скрывает жизненную роль доказательства в обра­зовании теорем113 .

Пи. Разница между различными доказательствами лежит гораздо глубже. Только наивная догадка относится к многогранникам. Теоремы касаются соответственно объ­ектов Коши, жергонновых и лежандровых, - но никоим об­разом не многогранников.

Бета. Вы пытаетесь шутить?

Пи. Нет, я объясню мою точку зрения. Но я сделаю это в более широком контексте — я хочу обсудить вообще формирование понятий.

Дзета. Лучше бы сначала обсудить содержание. Я нахожу Правило 4 Омеги очень слабым — даже в его радикальной формулировке114.

Учитель. Правильно. Давайте послушаем сначала о том, как Дзета подходит к проблеме содержания, а затем откроем наши дебаты дискуссией об образовании понятий.


^ 7. Проблема пересмотра содержания


а) «Наивность» наивной догадки

Дзета. Я согласен с Омегой и также оплакиваю факт, что устранители монстров, исключений и инкорпораторы лемм все стремятся к некоторой истине за счет содержа­ния. Но его Правило 4 115, требующее более глубоких доказательств той же самой наивной догадки, не будет до­статочным. Почему наши поиски содержания должны быть ограничены первой наивной догадкой, на которую мы на­пали? Почему целью нашего исследования должна быть «область наивной догадки»?

Омега. Я не понимаю вас. Конечно, нашей задачей было найти область истинности отношения V—E+F=2?

Дзета. Нет! Нашей задачей было найти связь V, Е и F для любого многогранника. Ведь только по чистой слу­чайности мы сначала познакомились с многогранниками, для которых F—E+F=2. Но критическое исследование этих «эйлеровых» многогранников показало нам, что не­эйлеровых многогранников существует гораздо больше, чем эйлеровых. Почему же нам не обратить внимания на область истинности V—E+F= -6, V—E+F=28 или V—E+F=0? Разве они не так же интересны?

Сигма. Вы правы. Мы обратили так много внимания на V—E+F=2 только по той причине, что первоначаль­но считали это истинным. Теперь же мы знаем, что это не так,— нам нужно найти новую, более глубокую наивную догадку...

Дзета ..., которая будет менее наивной...

Сигма ..., которая даст соотношение между V, Е и F для любого многогранника.

Омега. Зачем спешить? Решим сначала более скром­ную задачу, которую мы поставили перед собой: объяс­нить, почему некоторые многогранники являются эйлеро­выми. До сих пор мы пришли только к частичным объяс­нениям. Например, ни одно из найденных доказательств не объяснило, почему картинная рама с кольцеобразными гранями спереди и сзади будет эйлеровой (рис. 16). Она имеет 16 вершин, 24 ребра и 10 граней...





Тета. Она, конечно, не будет многогранником Коши: у нее есть туннель, кольцеобразные грани...

Бета. И все-таки она эйлерова! Как неразумно! Если многогранник провинился один раз — туннель без кольце­образных граней (рис. 9), — то его отбрасывают к козли­щам, а тот, который сделал вдвое больше преступлений — имеет кольцеобразные грани (рис. 16), — допущен к ов­цам116.

Омега. Вы видите, Дзета, у нас достаточно загадок и для эйлеровых многогранников. Решим же их, прежде чем заняться более общей задачей.

Дзета. Нет, Омега. «На много вопросов иногда бывает легче отве­тить, чем только на один. Новая бо­лее претенциозная проблема может оказаться более легкой, чем первона­чальная»117 108. В самом деле, я покажу, что ваша узкая случайная задача мо­жет быть решена только после реше­ния более широкой, существенной.

Омега. Но я хочу раскрыть сек­рет эйлеровости!

Дзета. Я понимаю ваше упорство: вы поставили за­дачу определить, где Бог поместил твердь, отделяющую эйлеровы многогранники от неэйлеровых. Но нет основа­ния думать, что слово «эйлеров» вообще встречалось у Бо­га в плане вселенной. А что если эйлеровость только слу­чайное свойство некоторых многогранников? В этом случае будет неинтересно, или даже невозможно, найти случай­ные зигзаги в демаркационной линии между эйлеровыми и неэйлеровыми многогранниками. Тем более это допуще­ние оставит незапятнанным рационализм, потому что эй­леровость не будет тогда частью рационального плана вселенной. Поэтому забудем об этом. Один из основных пунктов критического рационализма заключается в том, что надо быть всегда готовым во время решения оставить свою первоначальную задачу и заменить ее другой.



aleksandr-dyadishev-ezhi-tumanovskij-stranica-5.html
aleksandr-dyuma-chernij-tyulpan-stranica-10.html
aleksandr-dyuma-tri-mushketera-s-illyustraciyami.html
aleksandr-evseevich-hinshtejn-stranica-2.html
aleksandr-famincin-i-istoriya-russkoj-muziki-stranica-7.html
aleksandr-fedorov.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/raspisanie-dlya-studentov-2-kursa-ochnoj-formi-obucheniya-s-sokrashennim-srokom-na-baze-spo.html
  • university.bystrickaya.ru/f-m-dostoevskij-n-f-fedorov-v-s-solovev-v-krugu-idej-i-problem-russkoj-religiozno-filosofskoj-misli-konca-xix-pervoj-treti-xxveka-stranica-7.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/rannyaya-diagnostika-spida.html
  • knigi.bystrickaya.ru/snyatie-krivoj-namagnichevaniya-paramagnetika.html
  • textbook.bystrickaya.ru/itogi-deyatelnosti-farmacevticheskoj-spravochnoj-sluzhbi-soyuzfarma-za-noyabr-2007-g-str-13-predstavlyaem-region-nizhnij-novgorod-str-14-16-stranica-4.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/razvedchika-sistema-specnaza-gru-ocr-palek-1998-g.html
  • lecture.bystrickaya.ru/4proekt-dogovora-tehnicheskoe-zadanie-na-vipolnenie-rabot-7-tekushij-remont-kotla-bkz-320-140gm-8s-st-1-stancii-tec-2-filiala-7.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/scientifically-a-production-association-of-plastic-processing-named-after-komsomolskaya-pravda.html
  • spur.bystrickaya.ru/kommunikacii-i-etika-v-organizacii.html
  • desk.bystrickaya.ru/otchyot-o-deyatelnosti-municipalnogo-byudzhetnogo-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-dopolnitelnogo-obrazovaniya-detej.html
  • education.bystrickaya.ru/19-spisok-ispolzovannih-istochnikov-s-a-zelinskij-analiz-massovih-manipulyacij-v-rossii.html
  • thescience.bystrickaya.ru/izobrazitelnoe-i-dekorativno-prikladnoe-iskusstvo-enciklopediya.html
  • control.bystrickaya.ru/duhovno-lichnostnim-podhodom-a-v-fedorov-otvetstvennij-redaktor.html
  • thescience.bystrickaya.ru/izmenenie-v-klassifikatore-osnovnih-sredstv-aktualnie-socialno-ekonomicheskie-i-pravovie-aspekti-ustojchivogo-razvitiya-regiona.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/administrativnaya-otvetstvennost-vidi-administrativnih-nakazanij.html
  • college.bystrickaya.ru/110-raschet-dejstvuyushej-obshej-linii-ochistnih-zaboev-1-tehnologiya-podzemnih-gornih-rabot-na-shahte-zapolyarnaya-4.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/operativni-zadaci-pravilnik-o-izmenama-i-dopunama-pravilnika-o-nastavnom-planu-i-programu-osnovnog-obrazovaa-i-vaspitaa.html
  • institut.bystrickaya.ru/tema-differenciaciya-zvukov-z-i-z-celi-vn-978-5-222-15123-5.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/pravila-priema-v-gosudarstvennoe-byudzhetnoe-obrazovatelnoe-uchrezhdenie-srednego-professionalnogo-obrazovaniya.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/materiali-k-dokladu.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/amurskoe-kazache-vojsko-chast-3.html
  • lesson.bystrickaya.ru/reklamnie-naklejki-ili-pechat-na-samoklejke-chast-3.html
  • letter.bystrickaya.ru/o-provedenii-viltes-plaukimas-turnira-po-plavaniyu-sredi-veteranov-sporta.html
  • education.bystrickaya.ru/22-naimenovanie-tem-i-obem-v-chasah-auditornih-zanyatij-dlya-studentov-po.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/pravitelstvo-rossijskoj-federacii-postanovlenie-ot-5-dekabrya-2001-g-n-848-o-federalnoj-celevoj-programme-stranica-5.html
  • desk.bystrickaya.ru/podvizhnie-masterskie-po-remontu-sredstv-svyazi-prikaz-30-iyunya-2000-700-ob-utverzhdenii-nastavleniya-po-sluzhbe-svyazi.html
  • student.bystrickaya.ru/-4-kreshenie-svyatogo-vladimira-uchebnoe-posobie-pod-redakciej-professora-k-e-skurata-sergiev-posad-2006.html
  • writing.bystrickaya.ru/informatika-byulleten-novih-postuplenij-v-nb-rgu-za-1-kvartal-2009-g.html
  • uchit.bystrickaya.ru/tvorci-novih-legend-roman-belousov-o-chem-umolchali-knigi.html
  • studies.bystrickaya.ru/informacionnoe-obespechenie-processov-biznes-planirovaniya.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prikaz-po-upravleniyu-obrazovaniya-administracii-gorodskogo-okruga-orehovo-zuevo-ot-25-04-2012-g-406.html
  • diploma.bystrickaya.ru/vozniknovenie-caricina-chast-3.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/programma-vstupitelnih-ispitanij-dlya-postupleniya-v-magistraturu-po-napravleniyu-podgotovki-psihologo-pedagogicheskoe-obrazovanie.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sobranie-zakonodatelstva-rossijskoj-federacii-1999-n-29-sobranie-zakonodatelstva-rossijskoj-federacii-2002-n-1-ch-i-st-3702.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/nesmotrya-na-to-chto-zachatki-eksperimentalno-matematicheskogo-metoda-issledovaniya-prirodi-mozhno-najti-eshe-u-leonardo-da-vinchi-ego-osnovopolozhnikom-schitaetsya-ve.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.